Sobre Leonardo Euler

Ayer, 15 de abril, Google cambió su logotipo habitual por este otro:

para homenajear al gran matemático suizo Leonardo Euler, que nació tal día como hoy hace 306 años. Aparecen varias imágenes y comento algunas.
El primer tirón de orejas para los chicos de Google es la fórmula:

que siendo correcta, deberían haberla escrito en su forma equivalente:

ya que en ésta aparecen los cinco números más importantes de la matemática:

y con la primera no.

El segundo tirón es por no haber mencionado uno de sus resultados más espectaculares, el problema de Basilea, que consiste en hallar la suma de los inversos de los cuadrados de los números naturales, es decir:

Euler demostró que:

Varios matemáticos intentaron sumar la serie: Mengoli, Leibniz, Jacob Bernoulli, etc. y ninguno fue capaz de hacerlo. El último demostró la convergencia, y en su libro Tractatus incluyó una petición de ayuda:

Grande sea nuestra gratitud si alguien encuentra y nos comunica lo que hasta ahora ha escapado a nuestros esfuerzos.

La demostración de Euler es de una audacia y belleza sin igual. Cualquiera que la estudia se queda sorprendido al instante.
Esta serie es de convergencia muy lenta, y para conseguir sólo dos cifras decimales exactas es necesario sumar mil términos. Al ser el método de la fuerza bruta impracticable y para comprobar el resultado, Euler se las tuvo que ingeniar para acelerar la convergencia, mostrando que:

El segundo miembro contiene un término constante y una serie de convergencia muy rápida debido al factor exponencial 2^(n-1) que aparece en el denominador.
La serie es sencilla de sumar utilizando el desarrollo de Fourier de descomposición de una función en suma de senos y cosenos, pero hay que recordar que Fourier expuso este resultado en su obra Teoría analítica del calor en 1822, casi 40 años después de la muerte de Euler. También es fácil de conseguir con la integración compleja, pero su creador, Cauchy, nación en 1789, seis años después de la muerte de Euler.
Intente situarse en el lugar de Euler, y calcule la suma sin utilizar las herramientas mencionadas, y se encontrará con dificultades inmediatamente.
El maestro de Euler, Johan Bernoulli (hermano de Jacob y padre de Daniel) cuando conoció la demostración, exclamó:

¡Si viviera mi hermano!

Hay que recordar que Jacob murió en 1705, dos años antes de nacer Euler.

Por último, uno de los dibujos del doodle, hace referencia al problema de los puentes de Königsberg. Por esta ciudad pasa el río Pregel, y en cierto lugar del cauce hay una isla (Kneiphol), a la cual se accede mediante cinco puentes (ver figuras):

Los habitantes, en sus paseos, intentaban encontrar un camino de forma tal que ningún puente se recorriera más de una vez.
La resolución de este problema por Euler, dio origen a la teoría de grafos, y en parte, a la topología, pues por la naturaleza del problema, no interesan las distancias, sino las conexiones entre los objetos. Euler construye el siguiente esquema (que hoy llamamos grafo):

Cada nodo representa la tierra y las aristas, los puentes. La valencia de un nodo es el número de aristas que salen de él. Así, en el grafo anterior las valencias son: 3,5,3,3. Demuestra que para que en un grafo se pueda comenzar en un vértice, visitar todas las aristas solamente una vez y acabar el recorrido en el mismo vértice que se empezó es necesario y suficiente que todos los nodos del grafo tengan valencia par. En conclusión, el problema de los puentes de Königsberg es imposible. Hay una segunda variante que no obliga a finalizar en el mismo sitio del que partimos, sino en otro diferente, en concreto: ¿es posible partir de un nodo, recorrer todas las aristas una sola vez, y acabar en un nodo diferente?. Demostró que eso es posible si en el grafo había dos vértices de valencia impar, y todos los demás pares. Como tampoco se cumple esta condición para los puentes, el problema no tiene solución.
Hay muchos acertijos relacionados con éste problema, por ejemplo, el clásico de una casa con n habitaciones que tienen la luz encendida, y al irnos a dormir, hay que apagarlas. Se trata, como es evidente, de conseguirlo sin pasar dos veces por la misma habitación. En éste caso, los nodos son las habitaciones y las aristas son los pasillos que las comunican.

Pedro González